La teoría

Vamos a suponer en primer lugar que tanto las órbitas de la Tierra como la de Venus alrededor del Sol son circulares. Esta aproximación es bastante buena, ya que Venus posee la órbita planetaria con menos excentricidad del Sistema Solar, mientras que la excentricidad de la órbita terrestre también es una de las más bajas. Puesto que Venus se trata de un planeta interior, presenta fases a la Tierra, es el planeta que más se acerca a nosotros, y las grandes variaciones de distancia se traducen también en grandes variaciones de su tamaño aparente. Todos estos ingredientes los utilizaremos para medir la distancia de Venus al Sol, y a la Tierra. La Figura 1 representa la geometría de la configuración Sol-Venus-Tierra.

En el triángulo formado por los tres astros, nuestros datos serán la distancia de la Tierra al Sol T, y el ángulo a que mediremos sobre la imagen. Las incógnitas de nuestro problema son la distancia de Venus al Sol V, y la distancia de Venus a la Tierra l. En primer lugar veamos cómo calcular el ángulo a.

Según la Figura 2, podemos calcular el ángulo a a partir del ángulo de fase. A la derecha de la Figura 2, se muestra Venus como se ve desde la Tierra, y a la izquierda la misma situación vista desde Venus. El ángulo a es:

a = 90º + e.

Utilizando trigonometría elemental, de la Figura 2 se desprende que:

sen(e) = (D-d)/D.

Figura 1. Geometría de la de la configuración Sol-Venus-Tierra.

 

Figura 2. Derecha: Venus visto desde la Tierra. Izquierda: la misma situación desde el punto de vista de Venus.

 

Vamos a utilizar ahora algo más de trigonometría elemental:

Según el teorema del coseno y según la Figura 1, se tiene que:

T2 = V2 + l12 –2V l1cos(a1). (1)

En esta ecuación tenemos dos incógnitas, que son V y l1 (denominamos ahora l1 a la distancia l y a1 al ángulo a, por razones que se harán obvias de forma inmediata). Así que deberemos hacer uso de otra ecuación para poder despejar V y l1, a1 lo podemos medir a partir de la observación de la fase del planeta. Si volvemos a observar el planeta en otra posición con respecto a la Tierra, entonces obtendremos otro triángulo con el cual aplicando el teorema del coseno podremos volver a plantear la ecuación:

T2 = V2 + l22 –2V l2cos(a2). (2)

Sin embargo esta ecuación nos introduce otra incógnita, en este caso l2, la nueva distancia de la Tierra a Venus. Así que necesitamos una tercera ecuación. La observación del planeta en otra posición no nos ayudará mucho más, ya que podemos ver que nos introduciría una cuarta incógnita. Podemos introducir una tercera ecuación si nos damos cuenta de lo siguiente: Cuando Venus se encuentra a la distancia l1, su tamaño aparente es:

D1=Dv/l1

donde D1 es el tamaño aparente y Dv es el diámetro de Venus. A la distancia l2, el tamaño aparente D2 será:

D2=Dv/l2.

Realizando una simple división, es evidente que la relación de tamaños aparentes, por ejemplo D1/D2 es:

D1/D2=l2/l1.

Cantidad que llamaremos k y que podemos calcular fácilmente a partir de la medida de los tamaños aparentes de Venus cuando se encuentra a las distancias l1 y l2.

Esta tercera ecuación es la que necesitábamos para poder determinar las incógnitas V, l1 y l2.

Volvamos a escribir las tres ecuaciones:

l2/l1=k (3)

T2 = V2 + l12 –2V l1cos(a1)

T2 = V2 + l22 –2V l2cos(a2)

El resto es pura manipulación algebraica.

Podemos empezar, por ejemplo, por despejar l1 y l2 de las ecuaciones (1) y (2), resultando:

(4)

(5)

Dividiendo l2 entre l1 tenemos:

O bien:

Con A=T/V, es decir, el cociente entre las distancias de la Tierra y Venus al Sol.

A partir de aquí podemos despejar A. Si a partir de la última igualdad ponemos todas las raíces cuadradas en un lado de otra igualdad y el resto de los miembros en otra, es decir, si:

podemos elevar al cuadrado esta igualdad obteniendo:

Elevando nuevamente al cuadrado esta expresión para deshacernos totalmente de la raíz cuadrada, se llega a la expresión final, tras unas pocas manipulaciones algebraicas y trigonométricas:

A partir de este valor de V, podemos hallar el valor de l1 y l2, las distancias de Venus a la Tierra, en (4) y (5).


MIDIENDO VENUS I: SUS PARAMETROS FISICOS