Por Enrique García (OED y GEA)

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UNA HERRAMIENTA FUNDAMENTAL: LA CURVA DE LUZ

Para saber si una estrella es variable y si lo es, cómo se comporta, lo primero que hay que confeccionar es su curva de luz. La curva de luz será siempre la herramienta de trabajo fundamental y habrá que saber cómo manipularla para extraer de ella la máxima información posible. Una curva de luz sencilla, es simplemente una representación gráfica del brillo de la estrella en función del tiempo (ver la Figura 1). Un convenio universalmente utilizado por los astrónomos, es la de representar las magnitudes del eje de ordenadas de manera progresivamente decreciente en lugar de creciente a medida que subimos por el eje, tal y como se haría con cualquier otra gráfica. Como ya sabemos, cuanto más débil es una estrella más alta es su magnitud y viceversa, así, si queremos representar de manera visualmente intuitiva las fluctuaciones de brillo, deberemos situar la magnitud en orden inverso a como lo haríamos habitualmente con una gráfica corriente.

 


ALGO MAS SOBRE LA REPRESENTACIÓN DEL TIEMPO: EL DÍA JULIANO

Cuando emprendamos la observación de estrellas variables deberemos tomar nota de dos parámetros fundamentales, la magnitud de la estrella y el tiempo en que realicemos la medición de brillo. Inicialmente el tiempo lo registraremos en forma de fecha y hora de la observación. Y la forma natural en la que se nos puede ocurrir escalar el eje de tiempos, es precisamente en la forma fecha-hora. Sin embargo no es una forma práctica de construir la curva de luz. Supongamos que tenemos que representar las observaciones efectuadas a lo largo de varios meses e incluso años, puede llegar a ser bastante incómodo tener que dividir en años, meses, días o incluso horas , minutos y segundos el eje de tiempos. Este problema se ve acrecentado si se quieren visualizar y sobre todo efectuar cálculos con observaciones muy separadas en el tiempo. Incluso hoy en día en que la herramienta de trabajo habitual es el ordenador, es poco manejable arrastrar años, meses, días y horas. La forma que tienen de solucionar el problema los astrónomos, es numerando los días consecutivamente a partir de un origen fijo.

La idea la introdujo el astrónomo Joseph Justus Scaliger en 1581, y consiste en contar como día 0 el 1 de enero del 4713 antes de Cristo a las 12 del mediodía. A partir de ahí se van añadiendo consecutivamente los días transcurridos. A esta fecha dada en número de días se le denomina día juliano. Las consecuencias obvias son dos: la primera que el cambio de día juliano se efectúa a las doce del mediodía y no a las doce de la noche, lo que para los lugares cercanos al meridiano de Greenwich como es Europa, se añade la ventaja de que el día juliano no cambia en el transcurso de una misma noche. La segunda es que el día juliano se ha convertido en un número respetable. Por ejemplo, el 3 de abril de 1995 a las 12 del mediodía fue el día juliano 2.449.811, que es precisamente el número completo de días transcurridos desde la fecha origen. La razón de tomar como origen una fecha tan remota fue la de asegurarse que pudiera asignarse un día juliano a casi todos los fenómenos astronómicos registrados históricamente.

Por último y para completar el día juliano, hay que tener en cuenta la fracción de día transcurrida. Por ejemplo, si observamos una estrella precisamente el 3 de abril de 1995 a las 21h 30m T.U., podemos comprobar inmediatamente que desde las 12 del mediodía han transcurrido:

21h 30m - 12h 00m = 9h 30m,

que corresponde a una fracción de día de:

9h 30m = 9,5h = 9,5/24 días = 0,3958 días.

Por tanto el día juliano del 3 de abril de 1995 a las 9h 30m T.U. será el 2.449.811,3958. Número éste mucho más manejable por un programa de ordenador.

Para calcular el día juliano podemos contar directamente el número de días transcurridos desde el origen, pero existen algoritmos más sencillos que permiten calcularlo de forma inmediata. Además, ciertos programas de análisis, como por ejemplo el LAIA, realizan de forma automática el cálculo a partir de la fecha y la hora de los datos. La Figura 2 es un ejemplo de la curva de luz de R CrB en la que el eje de abscisas se da en día juliano.
 

 

Curva de luz de la estrella variable RCrB que registra una caída de brillo. Obsérvese la representación del brillo en magnitudes en el eje de ordenadas, y sobre todo la representación del tiempo en el eje de abscisas en la forma de día juliano. Nótese también, que dado que el número que indica el día juliano es demasiado grande, sólo se muestran las cuatro últimas cifras. "DJ + 2.400.000,0" significa que para obtener el día juliano completo hay que sumar 2.400.000,0 a la lectura del eje de abscisas. La presente gráfica abarca 500 días, mucho más fáciles de representar utilizando un sistema de numeración correlativo en lugar del sistema cotidiano año/mes/día/hora. 

 


LOS GRÁFICOS MAGNITUD-FASE

Supongamos que queremos representar una curva de luz de una estrella variables que sea estrictamente periódica como la de la Figura 3.A y cuyas medidas de brillo, representadas a lo largo del tiempo se indican en la figura 3.B. Si dibujamos, tal y como ya hemos descrito, la curva de luz magnitud-día juliano, obtendremos la gráfica 3.C, que es una curva de luz que prácticamente no nos da ninguna información. El problema puede ser realmente serio si, por ejemplo, estamos observando una estrella de corto período, en la que a causa de la imposibilidad de observarla continuamente, lo único que podemos conseguir es algo como la figura 3.C. En tal caso, lo que nos interesa es tomar todas las mediciones de brillo, y llevarlas a una gráfica única como la de la figura 3.D, de la que sí obtendremos información a cerca de la curva de luz de la estrella, y sobre la que continuamente podremos colocar nuestras observaciones a medida que vayamos acumulando mediciones de brillo. A la gráfica 3.D se le denomina diagrama magnitud-fase, y es la forma más conveniente de estudiar de manera efectiva una estrella variable periódica.

 

¿Cómo se construye un diagrama magnitud-fase?. Básicamente la idea es llevar todas las observaciones a un sólo período normalizado, al que se le da por tanto una duración arbitraria de una unidad y donde para cada punto de la curva de luz se calcula la fracción de período en la que se encuentra, o su fase. Para comenzar debemos tomar un instante de tiempo inicial de referencia, que generalmente suele ser una medida de brillo. En la gráfica 3.B tomaremos como punto de referencia el señalado como 1. A ese punto lo denominaremos origen de fases. Examinemos el punto número 2. Podemos ver en la figura que desde al punto 1 al 2, todavía no ha transcurrido un período completo de la curva de luz. Para calcular la fracción de período transcurrido, lo haremos de la forma:
 

 

 
donde t2 es el instante en que se realizó la medición de brillo del punto 2, t1 es el instante en que se realizó la medición de brillo del punto 1 y P es el período de la variable. f2 es la fracción de período o fase del punto 2. La situación del punto 3 es un poco distinta a la del punto 2, por que éste se encuentra a más de un período del punto 1. Supongamos que se encuentra a 1.6 períodos del punto 1. Puesto que lo que nos interesa es la fracción del período en la que éste se encuentra, es decir la fase, haremos caso omiso del período completo y diremos que la fase f3 del punto tres es 0,6. El punto 4 es la última situación que nos queda  por considerar. Este se encuentra antes del punto 1. Digamos que está unos 1,8 períodos antes. Si calculamos la fase f4 según la fórmula anterior, obtendremos un número negativo para el número de períodos transcurridos, concretamente -1,8. Ahora bien, si queremos determinar su fase correctamente, deberemos obtener la fracción de período transcurrida desde el punto que hemos tomado como origen de fases. Observando la figura 3.B comprobaremos que dicha fracción la obtendremos sumando 2 a -1,8, lo que nos dará la fase correcta de 0,2. Otra forma de calcular la fase f4, es teniendo en cuenta que para el punto 4 la fracción de período transcurrida es -0,8 (análogamente a como hicimos en el punto 3) y sumarle a este valor 1. Finalmente representaremos la magnitud en función de la fase para crear el diagrama magnitud-fase.
 
 

 

 

Curva de luz de NSV 03199, binaria eclipsante descubierta en el Observatorio Esteve Duran (Garcia-Melendo, E., Henden, A., A., 1998, IBVS, No. 4546). En la parte superior se muestran las observaciones fotométricas realizadas con CCD representadas en función del día juliano. Aunque son evidentes las caídas de brillo de la estrella variable, poco más puede decirse en esta representación donde las observaciones abarcan caso 200 días. En la parte inferior se representan las mismas observaciones puestas en fase con un período de 1.04640 días, tomando como origen de fases el día juliano 2450510.46542, evidenciando claramente la naturaleza eclipsante de esta estrella. Para el lector que quiera practicar y escribir un programa para calcular la fase de sus observaciones, aquí puede obtener las observaciones originales de NSV 03199.


ALGUNOS TEMAS MAS AVANZADOS: LA CORRECCIÓN HELIOCÉNTRICA Y EL CALCULO DE EFEMÉRIDES

Se puede considerar que la órbita terrestre es, en una primera aproximación, una circunferencia de radio cercano a los 150 millones de km. La luz, viajando a la velocidad de 300.000 km/s, tarda algo más de 8 minutos en llegar desde el Sol. Por consiguiente, un rayo luminoso necesitará alrededor de 16 minutos para cruzar toda la órbita de nuestro planeta. Ello nos hace suponer que a la hora de registrar el tiempo en que se produzcan algunos fenómenos celestes, éstos se verán afectados por la posición que ocupa la Tierra en su órbita respecto del punto del espacio en el cual tuvo lugar el suceso.
 
 

 

 
 

Consideremos la figura 5, en la que se muestran tres estrellas en posiciones diferentes respecto a la órbita terrestre. Supongamos que las estrellas a, b y c se tratan por ejemplo de binarias eclipsantes, de las cuales estamos interesados en medir los instantes precisos en los que se producen los mínimos principales. En un momento dado, observamos un eclipse de la estrella a, cuando la Tierra se encuentra en la posición A. Como conocemos el período con que se producen los descensos luminosos, calculamos cuando se producirá el próximo eclipse, resultando un instante para el que la Tierra se encuentra en la posición B. Pero al observar nuevamente el fenómeno, nos percatamos de que éste se produce 16 minutos más tarde de lo previsto. La razón es obvia, a se encuentra en el plano de la órbita terrestre, el plano de la eclíptica, y cualquier rayo de luz que parta de la estrella, tendrá que viajar la distancia adicional D hasta alcanzar a la Tierra en B. El caso de la estrella c es bien distinto. Ahora el recorrido que tiene que efectuar la luz saliente de c tendrá siempre la misma longitud, sea cual fuere la posición de la Tierra. Por último b representa una situación intermedia entre a y c.

Si en el instante en que cronometramos un eclipse de a o b calculamos el momento en que se vio desde el Sol, puesto que éste no se ve afectado del movimiento orbital terrestre, bastará simplemente con sumarle a dicho instante el valor del período con que se produce el fenómeno, para calcular sin error alguno las fechas futuras en que serán visibles desde el Sol nuevos sucesos. Para referir así al Sol cualquier observación efectuada desde la Tierra, tras calcular el día juliano (que ahora abreviaremos DJ), habrá que sumarle el tiempo de más o de menos que en ese mismo instante habría tardado la luz en viajar hasta Sol. A dicho intervalo de tiempo se le denomina corrección heliocéntrica. Así tenemos que:

DJH = DJ + corrección heliocéntrica,

donde DJH es el denominado día juliano heliocéntrico. No olvidemos pues que el DJH es el momento en que el fenómeno fue observable desde el Sol.

Volviendo a la figura 5, cuando la Tierra se halla en la posición A, la corrección heliocéntrica es positiva para a, ya que cualquier fenómeno que se produzca en esta estrella se ve más tarde desde el Sol que desde la Tierra debido al camino adicional que debe recorrer la luz. En cambio, cuando la Tierra se encuentra en B, la corrección heliocéntrica es negativa, ya que cuando la luz alcanza la Tierra, ésta ya ha pasado antes por la posición del Sol. La situación es idéntica para b, sólo que la corrección será menor que para a. En cambio, cualquier fenómeno que se produzca en c no necesitará corrección alguna. Hablando en otros términos, las estrellas situadas en la eclíptica sufrirán en determinados momentos una corrección máxima, mientras que las que lo sean en los polos de la misma no necesitarán de ella en absoluto.

El uso de la corrección heliocéntrica se ve justificado cuando se trabaja con estrellas periódicas, sobre todo si son de período corto, para la predicción de máximos y mínimos y para el estudio de variaciones de período. Generalmente se efectúan las observaciones, se obtiene el día juliano y finalmente se guardan los datos en la forma día juliano heliocéntrico-magnitud, tras realizar el cálculo de la corrección heliocéntrica.

Supongamos ahora que queremos calcular los mínimos principales de una estrellas binaria eclipsante, el proceso a seguir es el siguiente:

1. Calcular el DJH del momento del mínimo, origen a partir del cual se calculan los descensos de luz futura.

2. Aplicar la siguiente fórmula:

Mínimos de luz (en DJH) = t0 + PxE

Donde t0 es el origen dado en DJH, E es un número que expresa la cantidad de ciclos transcurridos desde t0 y que se denomina época, y P es el período de la variable. La fórmula anterior son las denominas efemérides de la estrella variable y tal y como hemos indicado anteriormente, nos sirve para predecir fenómenos periódicos. A continuación damos un ejemplo.

Ejemplo. Dada la binaria eclipsante RZ Cas, sabemos que se producirá un eclipse el 29 de Diciembre de 1983. ¿Cuál es la fecha exacta del fenómeno?.

En primer lugar debemos determinar t0 en DJH, lo que puede hacerse a partir de alguna publicación especializada o anuario, o a partir de observaciones propias anteriores. Nosotros tomaremos la época a partir del Rocznik (1983), que es un anuario especializado en binarias eclipsantes publicado por la Universidad de Cracovia en Polonia, de donde se obtiene que la época en DJ es:

t'0 = 2439673,1302,

que corresponde al 1 de julio de 1967 a las 15h 07m 29s. Ahora bien, a nosotros nos interesa expresar t0 en la forma DJH. Para ello, calculamos la corrección heliocéntrica (que llamaremos Dt) para t'0. Así se obtiene que:

Dt = -0,0032 días.

Como: DJH = DJ + Dt,

resulta que: t0 = 2439673,1271.

La fórmula utilizada para la obtención del DJH es un poco complicada, aunque ya lo hacen de forma automática ciertos programas de análisis, como por ejemplo LAIA. Quien desee programarselo por su cuenta, encontrará toda la información en Astronomical Algorithms, de Jean Meeus, publicado por Willmann-Bell, Inc. 1991, ISBN 0-943396-35-2.

Como el período de RZ Cas es de 1,19524892 días, las efemérides para esta estrella serán:

Mínimos (DJH) = 2439673,1271 + 1,19524892xE.

Ahora bien, hasta el eclipse del 29 de diciembre de 1983, transcurren 5.041 revoluciones, por consiguiente E=5.041 y:

Mínimo (DJH) = 2445698,3796,

que corresponde a la fecha: 29 -12 -1983 a las 21h 02m 44s

Si ahora deseamos saber en qué instante se verá el eclipse de RZ Cas desde la Tierra, tendremos que calcular el DJ a partir del DJH. Ya hemos visto que:

DJH = DJ + Dt,

luego

DJ = DJH - Dt.

Para el DJ calculado anteriormente Dt = 0,0032 días, por tanto:

DJ = 2445698,3769 - 0,0032 = 24456968,3738

que corresponde al 29 -12 -1983 a las 20h 58m 16,5s,

¡una diferencia de más de 4 minutos!.

Si bien a los observadores les interesa a efectos de realizar medidas de luz efemérides en DJ, no cabe duda que a efectos de cálculo y análisis, siempre es más conveniente trabajar con el DJH, para evitar la posible infiltración de errores a causa de la velocidad finita de la luz.

En todo este ejemplo se hace patente lo conveniente que es tener una fórmula que calcule la inversa del día juliano, es decir, la fecha, hora, e incluso día de la semana. A continuación se da programa en BASIC que lo hace:
 
 

100 REM ****************************************************************
110 REM **      CONVERSION DE DIA JULIANO A FECHA DEL CALENDARIO      **
115 REM **      Por J. M. GOMEZ del GRUPO DE ESTUDIOS ASTRONOMICOS
120 REM ****************************************************************
130 KEY OFF : CLS : DEFDBL D
140 INPUT" día juliano :"; DJ
150 DJ = DJ + 0.5
160 ENTER = INT(DJ) : FRAC = DJ - INT(DJ)
170 A0 = INT((ENTER - 1867216.25) / 36524.25)
180 A1 = ENTER + 1 + A0 - INT(A0 / 4)
190 IF ENTER < 2299161 THEN A2 = ENTER : ELSE A2 = A1
200 B = A2 + 1524 : C = INT((B - 122.1) / 365.25)
210 D = INT(C * 365.25) : MES = INT((B - D) / 30.6001)
220 DIA = B - D - INT(MES * 30.6001) + FRAC
230 IF MES < 13.5 THEN MES = MES -1 : ELSE MES = MES -13
240 IF MES > 2.5 THEN ANY = C - 4716 : ELSE ANY = C - 4715
250 PRINT : HORA = (DIA - INT(DIA)) * 24 : MINUTO = (HORA - INT(HORA)) * 60
260 SEGUNDO = (MINUTO - INT(MINUTO)) * 60
270 PRINT INT(DIA);"/";MES;"/";ANY
280 PRINT INT(HORA);"h "INT(MINUTO);"m ";INT(SEGUNDO*100+.5)/100;"s"
290 FOR I% = 1 TO 7 :READ DIA$(I%) : NEXT
300 DJ = DJ + 1 : DS = INT(DJ - INT (DJ/7) * 7)
310 PRINT DIA$(DS+1)
320 DATA "DOMINGO","LUNES","MARTES","MIERCOLES","JUEVES","VIERNES","SABADO"